Les nombres complexes : forme algébrique
	Les nombres complexes : forme trigonométrique
	Les nombres complexes : forme exponentielle

FORME ALGEBRIQUE forme trigonométrique forme exponentielle

DEFINITION

 Un nombre complexe z est un nombre de la forme a + ib

a et b réels

i nombre nouveau vérifiant i² = -1 .

On note a = Re(z) : partie réelle du complexe z

b = Im(z) : partie imaginaire du complexe.

EGALITE DE DEUX COMPLEXES

z = z' ssi : Re(z) = Re(z')

et Im(z) = Im(z').

REGLES DE CALCULS

soit les deux complexes z = a + ib et z' = a' + ib' :

ADDITION :

z + z' = a + a' +i(b+b')

PRODUIT :

zz' = aa' - bb' + i(ab' + ba')

PRODUIT PAR UN REEL :

kz = ka + ikb

OPPOSE :

-z = -a - ib

DIFFERENCE :

z' - z = a' - a + i (b' - b)

COMPLEXE NUL :

z = 0 si et seulement si a = b = 0

REPRESENTATION GEOMETRIQUE

 Le complexe z = a + ib peut se représenter par le point M (a;b).

 Pour des complexes z et z' affixe des points M et M' :

# P , image du complexe kz est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport k.

# M', image du complexe -z est le symétrique de M par rapport à O.

CONJUGUE D' UN NOMBRE COMPLEXE

Le conjugué permet de rendre un dénominateur réel, de même que l'utilisation du conjugué pour supprimer une racine.

 MODULE D ' UN NOMBRE COMPLEXE

 Le module représente une distance.

EQUATION DU SECOND DEGRE CHEZ LES COMPLEXES

 Tout réel négatif a possède dans C deux racines carrées conjuguées et

 Ainsi, dans une équation du second degré dans C , si , il y a deux solutions conjuguées complexes

 FORME TRIGONOMETRIQUE forme algébrique forme exponentielle

ARGUMENT D ' UN NOMBRE COMPLEXE

 M point d'affixe z . Dans le plan complexe (O; u ; v) , une mesure en radians de l'angle ( u ; OM) est appelée argument du nombre complexe z : arg z .

Forme trigonométrique de z de module r : z = r ( cos x + i sin x ) ; arg z = x , à 2 pi près.

 # Re (z) = r cosx

Im (z) = r sin x .

 # z = z' ssi r (z) = r' (z') ET arg z = arg z'.

FORME EXPONENTIELLE forme algébrique forme trigonométrique

Tout nombre complexe de module r et d'argument x est noté r e^ix avec r e^ix = r (cos x + i sin x )

 r e ^ix * r' e^ix' = r r' e^{i ( x + x' )} .

 (r e ^ix )ⁿ = rⁿ e ^{i n x} , n étant un entier naturel .

 .

 Rotation : L'image du point M(z) par la rotation de centre O et d'angle x est le point M'(z') avec z' = z e^ix .